Comment Calculer Une Hauteur D Un Triangle

Formule de la hauteur dans le triangle et Formule de Héron

Pour la 1ère S.

Voici une application de la formule d'Al-Kashi : on obtient une expression donnant la longueur d'une hauteur en fonction des côtés du triangle.

On en déduit la formule (dite de Héron) qui donne l'aire du triangle en fonction des côtés.

Note :
On suppose connue la loi des cosinus (formule d'Al-Kashî) :

Théorème 1 (Loi des cosinus).

Dans tout triangle ABC,

$\boxed{BC^2 = AB^two + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos{\widehat{BAC}}.}$

Cette relation permet de calculer la longueur d'une hauteur à partir de celles des côtés.

Théorème two

Dans un triangle ABC, le segment $h_A$ de hauteur issue de $A$ est donné en fonction de côtés $a$ , $b$ , $c$ par

$\boxed{h_A = \dfrac{2}{a}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p -c)}}$

où $p$ désigne le demi-périmètre $(a + b + c)/ii$ .

Démonstration

Avec la loi des cosinus, on a :

$a^ii + c^2 - ii \times a \times c \times \cos{\widehat{B}} = b^2$ .

Par projection de $AB$ sur $(BC)$ , on a :

$c \times \cos{\widehat{B}} = BH$ .

D'où

$a^2 + c^2 - 2 \times a \times BH = b^2$ .

On a donc : $BH =\dfrac{a^2 + c^2 - b^ii}{2a}$ .

Dans le triangle ABH, le théorème de Pythagore donne donc
$AH^2 = c^ii - BH^two = c^2 - \bigg[\dfrac{a^two + c^2 - b^2}{2a}\bigg]^2$ = $\dfrac{4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^ii)^2}{4a^2}$ .

Pour obtenir une expression plus « lisible », on fait apparaître une différence de deux carrés :

$AH^2 = \dfrac{(2ac)^two - (a^2 + c^2 - b^two)^2}{4a^2}$ ;

la factorisation par l'identité $u^2 - 5^2 = (u - v)(u + v)$ donne

$AH^2 =\dfrac{(2ac + a^two + c^2 - b^2)(2ac - a^ii - c^2 + b^2)}{4a^2}$ .

Avec les identités $u^two + 5^2 \pm 2uv = (u \pm 5)^2$ , on a

$AH^ii =\dfrac{((a + c)^2 -b^2)(b^2 - (a -c)^2)}{4a^2}$

L'identité $u^ii - v^ii$ donne encore

$AH^2 = \dfrac{(a + c - b)(a + c + b)(b - a + c)(b + a - c) }{4a^2}$ .

En observant la symétrie des différents facteurs du numérateur, on écrit

$AH^2 = \dfrac{(a + b + c - 2b)(a + b + c)(a + b + c - 2a)(a + b + c - 2c)}{4a^2}$

Avec le demi-périmètre

$p =a + b + c$ ,

On a donc :

$AH^2 = {2(p - b) \times 2p \times two(p - a) \times ii(p - c)}{4^a2} = 16(p - b)p(p - a)(p - c){4a^2}$ .

On en déduit finalement

$AH =\sqrt{\dfrac{4(p - b)p(p - a)(p - c)}{a^ii}}$
= $\dfrac{2\sqrt{(p - b)p(p - a)(p - c)}}{a}$ .

Corollaire i.

Fifty'aire du triangle $ABC$ est donnée par :

$\boxed{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ .

Démonstration.

En effet, fifty'aire est donnée par :

$S =\dfrac{a \times h_A}{2}$

$= \dfrac{a \times \frac{two}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2}$

$=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ .

Aller plus loin sur les triangles

Pour poursuivre sur les théorèmes liés aux triangles, consultés également ces autres fiches conseils sur notre site :

Les théorèmes de géométrie dans les triangles
Le calcul de fifty'aire ou de la surface d'united nations triangle rectangle
Les triangles en cinquième
Les angles et les parallèlismes

Vous pouvez également vous en référer à ce site pour savoir Comment construire la hauteur d'un triangle.

Calculer fifty'aire d'un triangle

En complément de cet commodity sur la hauteur du triangle, vous pouvez aussi avoir à calculer l'aire d'un triangle (en l'occurrence un triangle rectangle.
Dans ce cas, nos fiche-méthode, vous donnerons une courte introduction sur les propriétés du triangle rectangle, la formule générale cascade calculer l'aire d'united nations triangle quelconque, la formule particulière du calcul de la surface d'un triangle rectangle et d'un triangle rectangle isocèle et des exercices.

Alors, comment faire cascade calculer rapidement et facilement l'aire (également appelée surface) d'un triangle rectangle ?

Propriétés du triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l'united nations des angles est droit.

Un triangle rectangle est caractérisé par :

3 sommets et 3 côtés comme un triangle classique
i angle droit
ane des côtés non adjacent à cet angle droit appelé hypothénuse
ane hauteur issue de 50'angle droit du triangle notée hh

La formule généralement utilisée pour calculer l'aire (également appelée surface) d'un triangle quelconque :

$\boxed{A_{triangle}= \dfrac{b \times h}{ii}}$

avec :

$A$ l'aire en $cm^2$
$b$ la base du triangle en cm
$h$ la hauteur du triangle en cm

Par Zauctore

Toutes nos vidéos sur formule de la hauteur dans le triangle